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Zéro
Pourquoi
dans ce
monde,
même les zéros,
pour
valoir quelque
chose,
doivent-ils
être à droite ?
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0
Zéro,
c'est
un nombre rond
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Voir Humour
CARTE
D'IDENTITÉ
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Repères
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Mnémotechnique
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AS
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Morse - - - - -
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Écriture
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Braille
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- Classique
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0
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. ·
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- Éviter confusion avec
la lettre O
Le rond barré est une
lettre scandinave
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Æ
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· ·
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- Maths: ensemble vide
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Æ
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. .
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- Tableur, selon
spécifications
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0, - , rien
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0
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- Notation en O non
fermé, parfois utilisée pour éviter la
confusion avec la lettre O
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Arithmétique
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Facteurs
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0
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Nombre
entier
Ni
premier, ni composé
Pair
Explications
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0
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Numération
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§ § 0
Ø Ø Employé
seul, zéro indique rien,
vide
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§ § 105 & 15
Ø Ø Le
zéro marque la place vide dans notre manière de
compter
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§ § 24 => 240
Ø Ø Un 0
à droite, et le nombre est multiplié par 10
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Nombre
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§ § …, -2, -1, 0, 1, 2 …
Ø Ø Charnière
entre les nombres positifs et les nombres négatifs
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Arithmétique
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§ § a +
0 = a
§ § a x
0 = 0
§ §a / 0
absolument interdit !
Ø Ø Attention aux
opérations avec 0
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Algèbre
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§ § ax² + bx + c = 0
Ø Ø Équations:
l'habitude consiste à rendre nul le membre de droite
§ § f(x) = 0
Ø Ø Le
zéro d'une fonction en x est la valeur de x pour laquelle la
fonction s'annule
Ø Ø Le
zéro d'un polynôme est sa racine
v v Racine et
zéro sont synonymes
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Ø Ø La fonction zéro est une
fonction qui vaut toujours zéro
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Trigonométrie
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§ § Sin (0°) = cos (90°) = 0
Ø Ø Valeurs trigonométriques
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-Ý-
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0
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Ensemble
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§ § x +
e = x
Ø Ø Élément
neutre e d'un groupe dont la loi est additive
v v Généralisation
de l'effet du 0 de l'addition classique à d'autres ensembles
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§ § Card(Æ) = 0
Ø Ø Zéro
est le cardinal
de l'ensemble vide
v v La
quantité d'objets dans un ensemble vide est 0
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§ § Ensemble des nombres rationnels Q
Ø Ø Ensemble de
tous les nombres réels p/q
où p
et q sont des entiers relatifs avec q non nul
La définition exclut n
/ 0 et 0 / 0
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Probabilité
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§ § P(x) = 0
Ø Ø Événement
impossible, qui ne peut jamais se produire
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Logique
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§ § 0, 1
Ø Ø L'une des deux
valeurs binaires
de la logique
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Géométrie
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Ø Ø La dimension du
point
est 0; celle d'une droite est 1
§ § {0, x, y, z}
Ø Ø Origine des
mesures sur les systèmes d'axes
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Géographie
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Ø Ø Origine des
repères géographiques: longitude, latitude
Ø Ø Zéro
hydrographique: niveau de la mer
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§ § Ground Zero
Ø Ø Lieu
où se trouvaient les tours jumelles de NewYork, objet des
attentats du 9 septembre 2001
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-Ý-
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Physique
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Ø Ø Énergie
du vide
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§ § 0°C
Ø Ø Point
zéro: température de la glace fondante
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§ § 0°K = - 273,16 °C
Ø Ø Zéro
absolu
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Calendrier
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Ø Ø L'année
0 n'existe pas
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Étymologie
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Ø Ø Sunia, Sifr,
Zephirum …
v v Le nombre 0 est
une invention des Indiens, importée en Europe par les Arabes
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Linguistique
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Ø Ø La boule
à zéro, tout reprendre à
zéro …
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Numérologie
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Ø Ø Le
zéro est l'origine primitive de toute chose
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-Ý- Suite
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Pour tous les détails
voir
les pages indiquées ci-dessous
Quelques
réponses à
des questions classiques sur le ZÉRO
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Zéro est un nombre
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§ § Les nombres
donnent la réponse à la question: "combien y
a-t-il d'objets"?
Ø Ø Il y en a 2, il y a 1, il
n'y en a pas (0)
Ø Ø Zéro doit donc
être
considéré comme un nombre
§ § Que zéro soit un nombre
ou
non est sans grand fondement dans la mesure où on
décrète qu'il en fait partie,
un point c'est tout. Comme quelqu'un qui appartient à un
club ou non!
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Zéro entier
non naturel
Whole number
or counting
number
/ natural number
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§ § Les entiers naturels
n'incluent pas le zéro
Ø Ø Car, naturellement, on
commence à compter à partir de un: 1 mouton, 2
moutons; s'il n'y a pas de
mouton, on n'écrit rien
Ø Ø Historiquement, on faisait
une encoche
pour commencer à compter.
Ø Ø Les Romains ne connaissaient
pas le zéro …
§ § Cette notion entiers /
naturels n'a pas d'importance
Ø Ø En maths, on utilise
l'ensemble
N (avec le 0) ou
l'ensemble N* (sans le 0)
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Zéro ni positif
ni
négatif
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§ § Zéro est au centre:
… -3,
-2, -1, 0, 1, 2, 3 …
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Zéro
est pair
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§ § Un nombre n est pair
s'il existe un nombre k tel que n = 2k
Ø Ø Avec k = 0, n = 2 x 0 = 0 => 0
est
pair
§ § Un nombre est pair s'il est
divisible par 2; ce qui veut dire que le reste de la division est
zéro
Ø Ø 0 divisé par 2 donne un
reste
de 0 => 0 est pair
§ § Selon la liste des nombres
Ø Ø Nombres
naturels
1, 2, 3 …
Ø Ø Nombres
entiers
0, 1, 2, 3 …
Ø Ø Nombres
relatifs: … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …
Même
si l'on faisait ces distinctions entre entiers et naturels, dans tous
les cas 0 est pair
§ § La somme de deux nombres
pairs et paire
Ø Ø 0 + 2 = 2 => exact avec 0 => 0
est
pair
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Zéro
Ni premier
Ni
composé
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§ § Un nombre premier est
seulement divisible par 1 et par lui-même
Ø Ø Or 0 est divisible par tout
nombre (et donne 0), sauf par 0 (voir ci-dessous)
Ø Ø Zéro n'est donc pas
premier
§ § Un nombre composé est le
produit d'au moins deux facteurs premiers
Ø Ø Or, pour donner un produit
égal à 0, il faut que l'un des facteurs soit 0,
lequel n'est pas premier
Ø Ø Zéro n'est donc pas
composé
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Zéro est multiple
de
tout nombre
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§ § Le nombre x est multiple de
n, s'il existe un nombre k tel que: x = kn
Ø Ø Dans notre cas x vaut 0
Ø Ø prenons n = 8
Ø Ø il existe bien un nombre k =
0 tel que 0 = 0 x 8
Ø Ø ceci est valable pour tout
autre nombre que 8
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Zéro est un
carré
ou une puissance
ou
une racine
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§ § Si
3 x 3 = 9 et que 3 = Ö9 alors 9 est le carré de 3
§ § Alors 0 x 0 = 0 donne 0 =
Ö0
alors 0 est le carré de 0
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Division
par zéro
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n / 0
indéfini
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§ § Combien de fois 2 dans 8:
réponse 4
Ø Ø car 2 x + 4 = 8
§ § Combine de fois 0 dans 8:
réponse ?
Ø Ø car n x 0 = 0 toujours et
jamais 8
Ø Ø à moins de dire qu'il
s'agit
de l'infini:
mais alors cela crée le bazar dans les lois de calcul.
Ø Ø L'ensemble des réels
R ne
contient pas un individu tel que l'infini
Ø Ø Les mathématiciens
préfèrent
dire que cette fraction est indéfinie
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Preuve
par l'absurde
§ § Prenons les fractions successives 1
/ (1/n)
Ø Ø Le dénominateur devient
proche de 0 lorsque n devient très grand, et la fraction
complète devient elle aussi très grande
Ø Ø Admettons que nous appelions infini
la limite: 1 / 0 = ¥
§ § Prenons maintenant 1 / (-1/n)
Ø Ø Lorsque n devient très
grand la fraction donne un nombre négatif de plus en plus
grand et la limite devient: 1 / 0 = - ¥
§ § En déclarant que 1 / 0
est indéfini, ce genre de contradiction est
évité
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0 / 0
indéterminé
|
§ § N'est
pas indéfini, mais indéterminé
Ø Ø Impossible
de lui donner une valeur à priori
Ø Ø Notion
associée aux limites et qui dépend du contexte
5x / x x ® 0 =
5
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0 0
indéterminé
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§ § Est
indéterminé entre 0 et 1
§ § Est
indéterminé entre 0 et 1
Ø Ø En
effet, voici trois exemples:
- Avec 0 x = 0, alors 0 x x ® 0 =
0
- Avec x 0 = 1, alors x 0 x ® 0 =
1
- Et pour 0 < x < 1, avec ( x n
) 1/n = x,
alors ( x n ) 1/n
n ® ¥ =
( 0 ) 0 qui vaut aussi x
Ø Ø On peut
encore ajouter
- -
lim
0 (1/n) n ® ¥ =
0
- -
lim (1/n) 0 n ® ¥ =
1
Ø Ø Etc.
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-Ý-
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Voir
|
§ § Sommaire
des pages du Zéro
§ § Infini
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Livres
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§ § Zéro
– Denis Guedj - 2005
§ § Zéro
– La biographie d'une idée dangereuse –
Charles Seife – 2002
- Zero: the biography of a
dangerous idea)
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