NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 15/01/2009

 - Ý - Rubrique INFINI

§         §         Infini pour le débutant

§         §         Infini - Partie 1

§         §         Dénombrable & Continu

§         §         Infini - Partie 2

Sommaire des pages "infini"

>>> PARADOXES DE L'INFINI

>>> APPROCHE DES INFINIS

>>> Le MONDE extravagant de l'infini

>>> INFINITÉ de NOMBRES PREMIERS

>>> HISTOIRE DE L'INFINI

>>> Les BOULES ALÉATOIRES

>>> INFINI: Religion BIBLE & autres...

>>> INFINI: Philosophie ACTE ou VERBE?

>>> INFINI: Cosmologie CIEL

>>> INFINI: Physique QUANTIQUE

>>> INFINI et RELIGION

>>> INFINI et PENSÉES

>>> Les TROIS INFINIS

>>> Plus que l'infini! - TRANSFINIS

>>> ALEPH - Récapitulatif et propriétés

>>> PENSÉES MODERNES

>>> TOUT: Philosophie GESTALT

>>> INFINI: Évolution historique

10²⁰ / 10¹⁰⁰ / Nombres Univers / Zéro et infini / Infini des Jaïns

Compter à l'infini /  Théorie des nombres / Calcul mental / Géométrie

Les mathématiques sont la science de l'infini

Maths avec les "blondes"

Voir

§         §         Les infinitésimaux

La flèche n'atteint jamais sa cible

§        §        Chaque fois que la flèche a parcouru la moitié de son chemin ,

§        §        Il lui en reste une autre moitié à parcourir

Achille ne rattrape jamais  la tortue

§        §        La  tortue est partie en avance (eh, oui!)

§        §        Elle est déjà loin lorsque Achille se met à courir

§        §        Au moment où Achille atteint le point où elle se trouvait, la tortue a fait du chemin

§        §        Chaque fois que Achille passe par le point où se trouvait la tortue

§        §        Celle-ci, pendant ce temps, progresse …

La biographie de Russel

§        §        C'est l'histoire d'un homme qui passe 2 ans

§        §        Pour écrire la biographie de 2 jours de sa vie

§        §        S'il vit éternellement, il finira sa biographie

L'hôtel de Hilbert

§        §        Un hôtel a une infinité de chambres

§        §        Elle sont toutes occupées

§        §        S'il arrive encore une infinité de voyageurs, on pourra tous les loger:

o       o       les anciens dans les chambres paires et

o       o       les nouveaux arrivants dans les chambres impaires

Fractales

§        §        Dessins ou motifs qui se contient lui-même

§        §        Un zoom du motif fiat apparaître le motif d'origine

Vache qui rit

§        §        Le dessin sur la boîte montre la boîte elle-même

§        §        Sur laquelle on voit encore la boîte …

Miroirs

§        §        Miroirs face à face qui se renvoient une image sans fin

§        §        Miroirs disposés en cylindre comme ceux du Palais de Linderhof de Frédéric II de Bavière

Larsen

§        §        Micro qui capte le son émit par le haut-parleur

§        §        et le renvoie vers l'amplificateur branché sur le haut-parleur

Danaïdes

§        §        50 filles de Danaos qui tuèrent leur maris lors de la nuit de noces (sauf une)

§        §        Condamnées dans les Enfers à remplir d'eau un tonneau sans fond

§        §        Quelle est la distance la plus courte pour aller de A à C ?

- le chemin ABC

- le chemin ADEF...C

- le chemin comprenant un grand nombre d'escaliers

- le chemin comprenant une infinité d'escaliers, ou

- la diagonale AC

§        §        Oui ! On aboutit à un paradoxe qui semble montrer que la diagonale est égale à la somme de la longueur et de la largeur.

 §        §        Le seul moyen de lever le paradoxe est d'admettre différents niveaux d'infinis :

§        §        Il y plus de points sur la diagonale que dans le nombre d'escaliers que l'on peut faire pour approcher la diagonale

Soit :

 L'infini des nombres entiers est "moins riche "

que l'infini de la quantité de points sur une droite.

Voir

§                     §                     Fractions en zigzag

§                     §                     Marche de l'ivrogne

Voir

§         §         Je sais créer un nombre différent

§         §         Je sais créer une nombre premier plus grand

§         §         Je sais créer un ensemble plus grand

§        §         Cantor baptise Aleph 0 (À ₀)

l'infini des nombres entiers

§        §        En langage mathématique :

À ₀ est le cardinal infini des nombres entiers

§        §        Il baptise Aleph 1 (À ₁)

celui du nombre de points sur une portion de courbe.

§        §        Il en profite pour donner une construction de À _{2, 3, 4, ...¥}  !

§        §        Il se pose également une question étrange :

Existe-t-il d'autres infinis entre À ₀ et À ₁ ?

§        §        Il faudra attendre Kurt Gödel (1938) et Paul Cohen (1963) pour savoir qu'on ne le saura jamais.

§        §        Il s'agit d'un sujet indécidable : aussi bien vrai que faux !

§        §        L'infini est bien plus vertigineux qu'on pouvait le penser...

Constat

 §        §        Est-ce que la quantité des nombres entiers est plus grande que celle de leur carré.

 §        §        Il est évident que la plupart des nombres ne sont pas des carrés.

§        §        Alors leur quantité devrait largement surpasser la quantité des nombres - carrés.

§        §        Et pourtant, à chaque nombre on peut associer son carré.

Conclusion

§        §        A l'infini, la notion de " plus grand, plus petit ou égal " n'est pas applicable.

Une première approche de l'infini et de ses drôleries:

§        §        Le plus grand cercle devrait contenir plus de points que le petit.

§        §        Or à chaque point P ou Q, on peut associer un point P'ou Q':

§        §        Il y a donc le même nombre de points sur les deux cercles.

§        §        Et si le petit cercle était réduit à un point et le grand à un cercle de rayon infini?

Voir

§                     §                     Quantité de points sur une droite

Il y a une infinité de

nombres premiers

Euclide

§        §        Soit P le nombre premier supposé le plus grand.

§        §        Soit Q le produit plus 1 de tous les nombres premiers inférieur ou égaux à P.

 Q = 2.3.5.7....P + 1

§        §        Aucun des nombres premiers n'est diviseur de Q

§        §        Il reste toujours 1.

§        §        Q est soit premier, ou produit de nombres premiers plus grands que P.

§        §        Dans les deux cas, il existe un nombre premier plus grand que P.

§        §        Donc il n'existe pas de nombre premier le plus grand.

§        §        Ils sont en nombre infini.

§        §        Même très ancienne, cette démonstration reste aujourd'hui parmi les plus élégantes démonstration mathématiques.

Voir

§         §         Infinité de nombres premiers

 §        §        A quel âge un enfant peut-il apprécier cette notion?

 §        §        Très difficile à s'imposer dans l'histoire, cette notion renvoyait à Dieu Tout-Puissant.

 §        §        Le monde créé, le monde fini pour le monde, pour l'homme.

§        §        Il écrit, au sujet des deux infinis, l'infiniment petit et l'infiniment grand:

" ces extrémités se touchent et se réunissent à force de s'être éloignées, et se retrouvent en Dieu et en Dieu seulement. "

§        §        Il est le premier à défendre l'idée que l'infini peut être introduit en calcul mathématique

§        §        et dans le calcul infinitésimal en particulier.

§        §        Gauss y était opposé!

§        §        Elle s'impose en 1873 grâce aux travaux de Georg Cantor

Voir plus que l'infini

 §        §        Il montre que le nombre de point sur une droite est plus infini (transfini, disait-il) que l'infini des nombres entiers.

§        §        C'est la puissance du continu, dit-il.

§        §        Henri Poincaré n'adhérait pas à ce concept

§        §        ¥ était utilisé par les romains pour représenter 1000,  puis un grand nombre.

§        §        Professeur à Oxford, il utilisa ce symbole pour désigner l'infini pour la première fois:

" Arithmetica Infinitorum "

 §        §        Mais, il ne fut généralisé qu'en 1713 grâce à son adoption par Bernoulli.

§        §        Le symbole " ¥ " représente un huit couché ou huit paresseux.

§        §        En mathématique, c'est une lemniscate.

§        §        A rapprocher aussi du ruban de Möbius et de son parcours infini.

§        §        Il apparaît sur une carte de tarot comme auréole du "  Mage ".

§        §        La lettre cabalistique en hébreu est aleph (À ) qui sera utilisée par Cantor pour nommer les différents infinis mathématiques.

§        §        L'infini se disait " apeiron ".

§        §        Ce mot péjoratif désignait l'infini et l'indéfini.

§        §        Le chaos originel s'appelait aussi " apeiron "

§        §        Une expérience qui part dans une infinité de directions !

§        §        On retire une boule et on en replace deux de la même couleur que celle tirée

§        §        Après un certain nombre de tirages on obtient une proportion de boules blanches et noires qui converge vers une valeur fixe

§        §        Cette valeur est nouvelle à chaque fois que l'expérience est renouvelée

§        §        Le nombre de boules augmentant, la variance du nombre aléatoire qu'est la fréquence au coup suivant, connaissant la fréquence actuelle, diminue 

§        §        L'amplitude du changement de la fréquence d'un coup à l'autre, peu à peu, s'amenuise ;

§        §        il y a donc nécessairement convergence ;

§        §        par contre, l'aboutissement est totalement imprévisible ;

§        §        la possibilité d'une valeur entre 0 et 1 est équiprobable.

§        §        L'infini est symbolisé mathématiquement par le chiffre 8 couché.

§        §        Si on le dessine, on ne s'arrête jamais.

 §        §        Symbole de perfection divine vers laquelle tendent toutes les créatures, sans pourtant jamais l'atteindre.

§        §        L'infini, l'éternel est symbolisé dans la langue des hiéroglyphes sacrés, et aussi en alchimie, par un serpent qui se mord la queue.

§        §        Le nombre Infini, seul, dit Platon, est susceptible de toutes sortes de divisions.

§        §        L'infini et le zéro sont des notions irréelles intimement liées puisque, en mathématique, par définition, le fini divisé par zéro donne l'infini.

§        §        Malebranche dit "qu'il n'y a rien de grand par soi-même et sans rapports à autre chose, sinon l'Infini et l'Unité".

§        §        Parlant de l'Univers infini, Pascal dit qu'il est :

Un cercle dont le centre est partout

et la circonférence nulle part

§        §        Certains soutiennent que l'infini est plutôt un verbe qu'un nom.

§        §        L'infini implique plutôt un processus illimité que quelque chose " en acte ", pouvant être identifié.

§        §        Certains pensent que l'infini n'existe pas en tant que quantité, mais seulement que comme un potentiel:

§        §        une quantité qui peut toujours devenir plus grande ou plus petite sans que jamais ce devenir ne se transforme en être.

§        §        L'infini a-t-il une réalité, ou bien est-il une fiction utile au calcul comme le pensait Leibniz?

§        §        Cantor donna une autre idée de l'infini:

§        §        le seul ensemble infini " en acte ", pouvant être équivalent à des parties de lui-même.

§        §        Par exemple, l'ensemble infini des nombres pairs est équivalent à l'ensemble infini des nombres entiers dans sa totalité.

§        §        Il existe donc un certain nombres d'ensembles infinis équivalents.

§        §        Mais alors, pourquoi pas une infinité?

§        §        Une infinité d'ensembles infinis!

§        §        C'est un infini d'ordre 2.

§        §        Alors pourquoi pas l'ordre 3, puis 4, ou ... même, infini.

§        §        Ces ensembles d'ensembles infinis sont bien sûr en nombre infini.

§        §        On peut encore continuer comme ça...jusqu'à l'infini!

§        §        Ce serait alors, l'infini absolu, le vrai.

§        §        Le plus grand infini concevable.

§        §        Il est noté " w " par les mathématiciens.

§        §        Dans un univers statique, les étoiles existent depuis toujours.

§        §        En brillant, elles déversent de l'énergie lumineuse dans l'espace.

§        §        Cette énergie s'accumule depuis un temps infini.

§        §        Le ciel devrait, en conséquence, briller d'un éclat infini.

§        §        Alors, pourquoi la nuit est noire?

§        §        Problème vu pour la première fois par Kepler;

§        §        Puis Römer fit la découverte de la vitesse finie de la lumière.

§        §        Aussi, Edgar Allan Poe, poète américain, qui pense que certaines étoiles sont si éloignées que leur lumière ne nous est pas encore parvenue.

§        §        C'est vrai, les plus vielles étoiles ont sûrement moins de 20 milliards d'années.

§        §        A l'échelle astronomique, cette durée est trop courte pour remplir l'espace de lumière.

§        §        Même, si l'univers est en expansion, la lumière émise par les étoiles se raréfie progressivement à mesure que se dilate le volume d'espace dans lequel elle se propage.

§        §        La nuit devient de plus en plus noire.

§        §        L'obscurité de la nuit contient un message que les astronomes ont mis plus de quatre siècles à déchiffrer:

§        §        l'univers n'est ni éternel, ni immuable...

§        §        En 1927, le travail de Paul Dirac permit d'associer,

§        §        dans sa théorie de l'électron,

§        §        la théorie quantique et la relativité restreinte.

§        §        En essayant d'unifier mécanique quantique et électromagnétisme,

§        §        les nouvelles théories on s'est heurté à des valeurs infinies

§        §        quand on calculait les propriétés de l'électron. pas des valeurs très grandes,

§        §        non! infinies!

§        §        En " bricolant " les formules pour les rendre exploitables, on a donné naissance à l'" électrodynamique quantique renormalisée " (QED).

§       §        Théorie dont les résultats ont pu être vérifiés jusqu'à 10 décimales.

§        §        La QED met en jeu des particules qui transmettent la force.

§        §        Mais pas des particules de matière... des particules de champ.

§        §        Elles transmettent la force en voyageant à la vitesse de la lumière.

§        §        Ce sont des particules médiatrices.

§        §        Dans le Genèse, Yahvé dit à Abraham:

" lève les yeux au ciel et dénombre les étoiles,

si tu peux les dénombrer ".

§        §        Leçon de modestie, invitation à prendre conscience de l'infini qui nous entoure.

§        §        Combien d'anges peuvent danser sur la pointe d'une épingle?

§        §        Comme Dieu est infiniment puissant, il peut faire danser une infinité d'anges sur la pointe d'une épingle.

§        §        Pour le Père Teilhard de Chardin, l'univers tout entier est attiré vers le point " oméga ", un être personnel, transcendant.

§        §        Le monde est mû par une pulsion intérieure, présente en lui dès l'origine.

§        §        L'homme est une créature devenue consciente et cette une progression continue.

§        §        L'humanité avance vers une conscience collective qui rapproche l'Homme de son Créateur.

§        §        " Le Cosmos se dévide en arrière et se tisse en avant ".

§        §        Il y plus de choses dans le monde que n'en contient toute la philosophie, mon cher Horatio. 
Hamlet

Le vouloir est infini

 et l'exécution restreinte,

le désir sans bornes

et l'acte esclave de la limite.

L'homme est infiniment petit

par son corps,

mais il est infiniment grand

par son esprit.

§        §        Quand je considère la courte durée de ma vie absorbée dans l'éternité des temps,

§        §        ou la faible partie de l'espace que je peux toucher ou voir,

§        §        perdue dans l'immensité infinie des espaces que je ne connais pas et qui ne me connaît pas,

§        §        je suis effrayé et étonné de me voir ici au lieu de là...

§        §        maintenant plutôt que plus tard.

Notre arrogance cosmique a dû en rabattre:

Les trois premières font partie d'une réflexion désolée de Freud

§        §        La Terre, loin d'être au centre de l'Univers, n'est qu'un minuscule satellite d'une étoile secondaire.

Copernic,

Galilée,

Newton

§        §        L'homme n'est pas à l'image de Dieu; il est le fruit d'une évolution du monde animal

Darwin

§        §        Le comportement de l'homme n'est pas toujours raisonné; il est dicté par l'inconscient

Freud

§        §        L'âge de la Terre dépasse les quelques milliers d'années citées par la Bible; elle se compte en milliards d'années

Hubble

§        §        L'humanité n'occupe que le dernier micro-élément du temps cosmique, une seule minute de l'année cosmique

§        §        Une minuscule parenthèse dans l'éternité - Sir Thomas Browne

§        §        L'homme est un éphémère accident cosmique qui ne se reproduirait peut-être pas si on recommençait l'histoire de l'Univers

§        §        Chaque espèce ne progresse pas automatiquement vers celle qui lui est immédiatement supérieure. L'Homo Sapiens n'est qu'une ramille minuscule émergée depuis hier seulement sur un arbre de vie extrêmement luxuriant, qui ne redonnerait jamais les mêmes branches si on replantait la graine dont il est issu

S.J.Gould

-Ý-

Voir

§         §         Compter à l'infini

§         §         Suite  sur les infinis

§         §         A la recherche de l'infini